GMAT Quantitative Section. Урок 60. Сравнение дробей

Достаточно часто на тесте GMAT Вам предложат выбрать из пяти дробей наибольшую или наименьшую, или сказать, в каких промежутках находится данная обыкновенная дробь. Успех в решении подобных задач основан, во-первых, на понимании, что такое дробь и какой смысл несут ее числитель и знаменатель, и во-вторых, на умении быстро и безошибочно приводить дроби к общему знаменателю.

Самые базовые понятия, связанные с дробями, просты и знакомы нам с детства. Давайте их вспомним.

 
Что такое дробь
Обыкновенной дробью называется число, представленное в виде a/b, где a – целое число, а b – натуральное. Число a называется числителем, а b – знаменателем дроби.
Пусть у нас есть некое целое. Знаменатель дроби равен количеству равных частей, на которые разделили наше целое. Числитель дроби равен количеству частей, которые мы «берем».   
В примере с тортом (рис. 1) взяли 1/4 часть, а осталось 3/4. А в примере с отрезком (рис. 2) взяли 3/5.
 

 Сравнение дробей.
Сравним три пары дробей.
    5/18  и  11/18
    3/7  и  3/9
    5/18  и  3/4

В a) замечаем, что дроби имеют одинаковый знаменатель.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше будет та, у которой больше числитель.
Таким образом, 5/18< 11/18
В b) у дробей одинаковый числитель.
Из двух дробей с одинаковым числителем больше будет та, у которой меньше знаменатель.
В нашем случае имеем  3/7> 3/9

Наконец, в c) ни знаментали , ни числители дробей не совпадают. В таком случае наобходимо привести дроби к общему знаменателю. После этого задача сведется к пункту а). В нашем случае общий знаменатель равен 36. Таким образом,
5/18=10/36  и   3/4=27/36
Окончательно, 10/36<27/36 и 5/18<3/4.
При решении задач бывает полезно привести все дроби в одному знаменателю, но бывает также удобнее сравнивать дроби попарно.

Рассмотрим примеры:
1. Which of the following fractions is the smallest?
(A) 3/10.
(B) 6/19.
(C) 3/8.
(D) 11/30.
(E) 12/31. 

 Explanation:
Сравним все ответы с  (A) 3/10.
(B):  3/10 x 2 = 6/20, что меньше, чем  6/19.
(C):  3/10 снова меньше чем 3/8.
(D):  3/10 = 9/30, что меньше, чем 11/30.
(E):  3/10 = 12/40 -  меньше, чем 12/31.
Самая маленькая дробь в ответе A.
Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно. 

2. Which of the following fractions is the largest?
(A) 2/7.
(B) 2/3.
(C) 7/9.
(D) 7/12.
(E) 3/5.
Answer: C
    Which of the following fractions has the greatest value?

(A) 3/8!
(B) (6(4!))/(5(9!))
(C)(4(3!))/9!
(D) 3/(5(7!))
(E) 14/(5(8!))
Explanation:
Общим знаменателем всех этих дробей будет  5(9!).  Приведем все дроби к этому знаменателю.

(A) 3/8! = 3*5*9/(5(9!)) = 135 / 5(9!) [Умножим числитель и знаменталель на 5*9]
(B) 6(4!)/5(9!) = 144 / 5(9!)
(C) 4(3!)/9! = 5*4*3! / 5(9!) = 120 / 5(9!) [Умножим числитель и знаменталель на 5]
(D) 3/5(7!) = 3*8*8 / 5(9!) = 216 / 5(9!) [Умножим числитель и знаменталель на 9*8]
(E) 14/5(8!) = 14*9 / 5(9!) = 126 / 5(9!) [Умножим числитель и знаменталель на  9]

Самая большая дробь - (D).

Аналогичную задачу попробуйте решить самостоятельно.

    Which of the following fractions has the greatest value?
(A) 1/(3^2 5^2 )
(B) 2/(3^2 5^2 )

(C) 7/(3^3 5^2 )

(D) 45/(3^3 5^3 )
(E)  75/(3^4 5^5 )

Answer: D

    Which of the following numbers is the greatest?

A. 1876452/1876455

B. 1876446/1876449

C. 1876453/1876456

D. 1876456/1876459

E. 1876491/1876494

Explanation:
У этих дробей нет ни общего знаменателя, ни общего числителя. Искать их совершенно бессмысленно. Заметим, что разница между числителем и знаменателем каждой дроби различаются на 3. Тогда мы можем представить данные дроби в следующем виде:
(A) 1876452/1876455 = 1876455/1876455 - 3/1876455 = 1- 3/1876455
(B) 1883456/1883459 = 1883459/1883459 - 3/1883459 = 1- 3/1883459
(C) 1883491/1883494 = 1883494/1883494 - 3/1883494 = 1- 3/1883494 = САМАЯ БОЛЬШАЯ, т.к.  3/1883494 –САМАЯ МАЛЕНЬКАЯ.
(D) 1883446/1883449 = 1883449/1883449 - 3/1883449 = 1- 3/1883449
(E) 1883453/1883456 = 1883456/1883456 - 3/1883456 = 1- 3/1883456
Итак, ответ C.

Illustration:
Изобразим эти дроби на отрезке. Знаменатель равен количеству частей, на которые мы делим наш отрезок. Чем он больше, тем больше количество частей. Чем больше частей, тем меньше их длина. Тот факт, что числители и знаменатели различаются на 3, означает, что мы «берем» все части кроме трех:

Очевидно, чем больше знаменатель, тем больше длина выделенного участка, что и соответствует величине дроби.
    (GC 6444) Which one of the five factors is the largest?
(A)    25038876541/25038876543
(B)    25038876543/25038876545
(C)    25038876545/25038876547
(D)    25038876547/25038876549
(E)    25038876549/25038876551
   
Answer: E

Ольга Москаленко, GMAT консультант, Quantitative part