Эффективные уроки GMAT. Bernoulli theorem

В этом уроке будет рассмотрен один из типов задач по теории вероятностей. Начнем с двух примеров:

Пример 1:
If a certain coin is flipped, the probability that the coin will land heads is 1/2. If the coin is flipped 5 times, what is the probability that it will land heads up on the first 3 flips and not on the last 2 flips?  

A. 3/5
B. 1/2
C. 1/5
D. 1/8
E. 1/32
Пример 2:
Five fair coins are tossed. What is the probability that exactly three of the coins land tails side up?

A)5/32
B)3/16
C)5/16
D)3/8
E)5/8
Если разница между этими задачами не слишком очевидна для вас, или не ясно, чем будут отличаться решения, то сегодняшний урок для вас. Элементы теории вероятностей и математической статистики не так давно стали частью школьной программы 8 класса по математике. Прежде чем решать приведенные задачи, предлагаю вам почувствовать себя современными школьниками и побывать на части школьного урока по теории вероятностей.

Определение: испытанием Бернулли называется случайный опыт, который может закончиться одним из двух возможных исходов (будем называть их удачей и неудачей).

Например, подброшенная монета падает либо орлом, либо решкой вверх. Стрелок может попасть в мишень, а может промахнуться. Ученик может выбрать правильный ответ, а может ошибиться.

Вероятность того, что событие закончится успехом, будем обозначать буквой p, а вероятность неудачи — буквой q. При этом p+q=1.

Если проводится несколько одинаковых и независимых испытаний Бернулли подряд, то говорят, что проведена серия испытаний Бернулли.

Рассмотрим элементарные исходы для серии из трех испытаний Бернулли. Каждое испытание оканчивается либо успехом, либо неудачей. В случае успеха мы будем писать У, в случае неуспеха — Н. Таким образом, после проведения трех испытаний, может получиться следующее:

УУУ, УУН, УНН, УНУ, НУУ, ННУ, НУН, ННН.

Получается 8 возможных исходов при трех испытаниях Бернулли. Поскольку отдельные испытания Бернулли независимы, вероятность каждого исхода находим по правилу перемножения вероятностей: букву У заменяем на вероятность успеха (p) букву Н — на вероятность неуспеха (q), и затем перемножаем. Например, вероятность элементарного исхода УУН  равна (p^2)•q.

Рассуждая таким же образом в общем виде, мы получим, что в серии из n испытаний Бернулли вероятность получить каждый элементарный исход, в котором успех наступает ровно k раз, равна p^k•q^(n-k).

Теперь представим, что проводится пять испытаний Бернулли. (Например, пять раз бросают одну монету). Попробуем ответить на следующий вопрос: сколько элементарных событий этой серии приведет к трем успехам? Такие элементарные события могут выглядеть следующим образом:
УУУНН, УНУНУ, ННУУУ, УННУУ, и т. д.
Таким образом, число таких событий равно числу способов расставить три буквы У в последовательности из пяти букв, то есть C(5,3) (будем обозначать за C(n, k) количество комбинаций из n элементов по k).
Обобщая этот результат на произвольное число испытаний n, получаем, что число элементарных событий, благоприятствующих k успехам, равно C(n, k).

Итак, при проведении серии из n независимых испытаний Бернулли одно элементарное событие с k успехами имеет вид p^k•q^(n-k), а число таких событий равно C(n, k).
Следовательно, событие «наступило ровно k успехов» имеет вероятность
C(n,k)•p^k•q^(n-k).
Эта формула и называется формулой Бернулли.

Вернемся к нашим примерам.

В примере 1 необходимо найти вероятность одного элементарного исхода серии из пяти испытаний Бернулли. А именно, УУУНН. Такая вероятность находится по правилу умножения и равна (1/2)^3•(1/2)^2=(1/2)^5=1/32. Правильный ответ E.

В примере 2 ничего не говорится о порядке выпадения орла и решки. Здесь нас спрашивают о вероятности наступления ровно трех успехов, которая равна C(5,3)•(1/2)^3•(1/2)^2=10•(1/2)^5=10/32=5/16. Ответ С.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3:

There is a 90% chance that a registered voter in Burghtown voted in the last election. If five registered voters are chosen at random, what is the approximate likelihood that exactly four of them voted in the last election?

A) 26.2%
B) 32.8%
C) 43.7%
D) 59.0%
E) 65.6%

Решение:
Поскольку вновь нет ни слова о том, какие именно избиратели должны проголосовать, то используем формулу Бернулли:
C(5, 4)•(0.9)^4•(0.1)=5•0.6561•0.1=32.8. Ответ B.

Пример 4:
In Rwanda, the chance for rain on any given day is 50%. What is the probability that it rains on 4 out of 7 consecutive days in Rwanda?

a) 4/7
b) 3/7
c) 35/128
d) 4/28
e) 28/135

Решение:
Снова ничего не сказано о том, какие конкретно дни должны быть дождливыми, поэтому допускаем каждый из C(7, 4)вариантов, когда дождь идет ровно 4 дня из семи. Снова воспользуемся формулой Бернулли: C(7, 4)•(0.5)^4•(0.5)^3=(7!/(4!3!))(0.5)^7=35/128. Правильный ответ C.

Материал подготовила Ольга Москаленко