Что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну? Он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. При заданном объеме тела (его он уменьшить так быстро никак не сможет), кот пытается уменьшить свою поверхность. Иначе говоря, зверек решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей площадью, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет представление об изопериметрической задаче! И нам, готовящимся к GMAT, не мешало бы с ней познакомиться.

История вопроса

Отрезок прямой линии определяет кратчайший путь между двумя его конечными точками. Дуга большого круга представляет собой кратчайшую кривую, которой можно соединить две точки на сфере. Среди всех замкнутых плоских кривых одной и той же длины наибольшая площадь охватывается окружностью, а среди всех замкнутых поверхностей одной и той же площади наибольший объем охватывается сферой.

 
Максимальные и минимальные свойства подобного рода были известны еще древнегреческим математикам, хотя и не всегда со строгими их доказательствами. 

Вергилий (полное его имя - Публий Вергилий Марон), один из знаменитых поэтов Древнего Рима воспроизвел в своей "Энеиде" легенду, по-видимому, относящуюся к событиям IX века до н.э., и получившую большое распространение. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований, после многих приключений прибыла на берег Африки (ныне - Тунисский залив), где она впоследствии стала основательницей города Карфагена и ее первой легендарной царицей. Дидона начала с того, что купила у туземцев участок земли "не больше, чем можно окружить бычьей шкурой". Затем она разрезала бычью шкуру на узкие полоски, из которых связала длинную веревку и столкнулась с математической задачей: участок земли какой формы нужно окружить веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь? В память об этой истории карфагенская крепость была названа "Бирса", что на языке жителей Карфагена означает "бычья шкура".

Точная математическая постановка этой задачи такова: Среди замкнутых плоских кривых, имеющих данную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь. Эту задачу называют задачей Дидоны или изопериметрической задачей(Изопериметрические фигуры - это фигуры, имеющие одинаковый периметр). Многие историки считают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной литературе. Вергилий, описывая эту легенду, использовал глагол "circumdare" (окружать), содержащий корень "circus" (круг), что позволяет предположить, что Дидона правильно решила задачу, т.е. что участок нужно было окружить в форме круга.

Основные утверждения

1.    При заданной длине наибольшая площадь охватывается окружностью.
2.    Из всех треугольников заданного периметра равносторонний треугольник имеет наибольшую площадь.
3.    Из всех треугольников с двумя заданными сторонами a и b наибольшую площадь будет иметь прямоугольный треугольник с катетами a и b.
4.    Из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой максимальной площадью обладает равнобедренный прямоугольный треугольник.
5.    Из всех четырехугольников заданного периметра максимальной площадью обладает квадрат.
6.    Из всех тел заданной площади максимальным объемом обладает сфера.

Примеры задач

1.    If a shape made from an x meter rope can cover a maximum of 50 square meters, what is the approximate length of the rope?

(A) 4
(B) 7
(C) 10
(D) 20
(E) 25

Решение:

Из всех кривых заданной длины именно окружность охватывает максимальную площадь, в данном случае 50 кв. м. Зная площадь, без труда отыщем ее радиус: pi*r^2=50, rH4. Теперь находим длину окружности: 2*pi*rH8*3.14H25.
Ответ: Е.

2.    If ABCD is a rectangle, is the area of triangle ABE > 25?

(1) AB = 6
(2) AE = 10

(A) Statement (1) alone is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
(B) Statement (2) alone is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
(C) BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
(D) Each statement ALONE is sufficient.
(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient

Решение:

(1)    Итак, нам известен катет AB = 6. Один катет сам по себе мало говорит о площади: если рассмотреть пифагорову тройку 6, 8, 10, то площадь треугольника получается 24, а если взять 6, 10, 136 (проверьте, что он прямоугольный!), то площадь выходит 30. Недостаточно.
(2)    В треугольнике мы знаем только гипотенузу. Можно просто воспользоваться утверждением 4, а можно попытаться его вывести. Если представить себе все треугольники с заданной гипотенузой, то можно получить такую картину: окружность с диаметром, равным гипотенузе, и множество прямых углов, вписанных в окружность и опирающихся на диаметр (на рисунке углы C, D, E, K, F прямые, так как опираются на диаметр): 

 
Из всех возможных высот этих треугольников самая большая будет равна радиусу окружности, или половине гипотенузы. (В нашем случае это треугольник ADB с высотой 5.) Максимальная площадь тогда равна 5*10/2 = 25. Больше быть не может, так что второе утверждение достаточно.
Ответ: В.

3.    To build a rectangular chicken pen, Mike has 40 meters of net. If Mike wants to maximize the area of the pan, what will be the most favorable dimensions?

(A) 12 Ч 8
(B) 15 Ч 8
(C) 10 Ч 10
(D) 15 Ч 15
(E) 15 Ч 5

Решение:

Как мы уже знаем, четырехугольник, максимальной площади, это квадрат. Выходит, Майк построил квадрат с периметром 40, а значит, стороны его были по 10 м.
Ответ: С

4.    What is the maximum area of a triangle whose one vertex is at the center of a circle of radius 1 and other two on the circle?

(А) 1
(B) 1/2
(C) 3/4
(D) pi/2
(E) 2

Решение:

Если центр окружности - одна из вершин треугольника, а две другие лежат на окружности, то как минимум две стороны окружности равны радиусу, то есть 1. Из всех треугольников с двумя заданными сторонами максимальной площадью обладает прямоугольный треугольник (утв. 3). Если катеты такого треугольника равны по 1, то площадь его равна Ѕ.
Ответ: B. 

 

Материал подготовлен Ольгой Москаленко,
GMAT консультантом MBA Strategy