Разложение на простые множители

В данном уроке мы рассмотрим задачи на разложение на простые множители  - довольно распространенный тип задач в арифметике.

Для начала напомню, что простые числа (prime numbers) – это числа которые имеют ровно два различных делителя: 1 и само число. Минимальное и единственное четное prime number - 2.

Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... – простые.

Например, число 72 можно разложить на множители несколькими способами:
72 =1*72 = 2*36 = 3*24 = 4*18 = 6*12 = 8*9.

Если же мы представим 72 в виде комбинации простых чисел, то такое разложение будет единственным:
 

72= 2*2*2*3*3.

Единственность разложения любого целого положительного числа больше 1 на простые множители – ключ к решению многих арифметических задач на GMAT.

Example 1.

If P, Q, R, and S are positive integers, and P/Q=R/S, is R divisible by 5?

1. P is divisible by 140

2. Q=7^x, where x is a positive integer

(A) Statement (1) alone is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
(B) Statement (2) alone is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
(C) BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
(D) Each statement ALONE is sufficient.
(E) Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

Explanation.

Перепишем  исходное соотношение PS=RQ. Используя первый стейтмент, можем представить

P = 140 x b

тогда перепишем уравнение
 

140 x b x S = R x Q
2² x 5 x 7 x b x S = R x Q
 

В правой и левой частях уравнения одно и то же число, значит разложение на простые множители его единственно: если в левой части уравнения есть множитель 5, то он должен быть и в правой, но мы не знаем, является он prime factor R или Q. Первое условие само недостаточно.
Второе условие не дает никакой информации о R – недостаточно.
Объединив два условия, получим:
 

2² x 5 x 7 x b x S = R x 7^x
 

Используя то же свойство единственности разложения, можем сделать вывод, R содержит в себе простые множители 2 и 5. То есть два условия вместе позволяют дать однозначный ответ на вопрос. 

Ответ C.
 

Example 2.
 

If m and n are positive integer, and 1800m = n³, what is the least possible value of m? 

(A)        2
(B)        3
(C)       15
(D)       30
(E)       45

Explanation.
 

Здесь нам стоит воспользоваться свойством разложения степеней целых чисел:  в разложении квадрата любого целого числа простые множители всегда имеют четные степени, в разложении куба любого целого числа простые множители всегда имеют степени, кратные 3.
 

1800m = n³
2³ 3² 5²m = n³
 

Для выполнения этого условия в левой части равенства недостает множителя 3 и множителя 5, значит, m=3 х 5 х K, и минимальное значение m  достигается при K=1, m=15

Ответ С.

 Материал подготовила Эльвира Нургалиева, GMAT Консультант MBA Strategy