Количественные вопросы GMAT можно решить без и быстрых подсчетов в уме (и уж точно без калькулятора). Но это не значит, что тест вас не вознаграждает, если вы ускоряете процесс. И под «ускорением» мы не имеем в виду срезание углов или снижение тщательности. Мы хотим сказать, что существуют способы сделать вычисления более простыми и выполнимым. 

Возьмем среднее арифметическое. Скорее всего, вы знакомы с основным способом нахождения этой величины: складываете все элементы ряда чисел, потом делите на количество членов и получаете среднее арифметическое.  К примеру, возьмем ряд (3, 7, 15, 9, 6). Чтобы вычислить среднее арифметическое, мы складываем 3+7+15+9+6 = 40, потом делим эти 40 на количество элементов (5) и получаем среднее 8.

Здесь работает важный принцип: независимо от значения этих пяти элементов, они всегда будут в среднем давать 8, если их сумма составляет 40. Таким образом, если мы поменяем (3,7,15,9,6) на (4,6,15,9,6), среднее арифметическое не изменится, потому что сумма чисел все так же составляет 40. Это отображается в «формуле перестановки среднего арифметического», которая просто констатирует, что сумма ряда чисел равна их среднему арифметическому, умноженному на количество чисел (Sum = Avg * # членов).

Это приводит нас к неимоверно полезной уловке вычислений в уме. Если вы измените отдельные числа в ряде так, чтобы они приблизились к среднему арифметическому, одновременно убеждаясь в том, что сумма не меняется, Вы сможете найти точное среднее арифметическое намного быстрее.

Чтобы продемонстрировать это, возьмем наш первоначальный ряд чисел (3, 7, 15, 9, 6). 

Для начала, возьмем среднее арифметическое отдельных пар. Например, 3 и 7 в среднем дают 5, а 9 и 16 дают 12. Таким образом, мы можем изменить список (3, 7, 15, 9, 6) на (5, 5, 12, 12, 6).  Заметьте, что оба ряда имеют одинаковое среднее арифметическое, потому что мы не меняли ни сумму чисел, ни количество элементов.

Теперь у нас есть две 5-ки и две 12-ки. Давайте разберем их. Среднее арифметическое 5 и 12 равно 8,5, значит, мы можем поменять (5, 5, 12, 12, 6) на (8.5, 8.5, 8.5, 8.5, 6).

Очевидно, среднее ряда не будет равняться 8,5, поскольку у вас есть еще 6. Но в вопросах по Problem Solving вы можете округлять. Поскольку 6 недалеко от 8,5, вы знаете, что среднее будет немного меньше 8,5, так что если только один вариант ответа немного меньше 8,5, вы знаете, что именно оно станет Вашим фаворитом.

Но для большей точности, закончим то, что мы начали! Здесь появляется еще один классный прием вычислений в уме, связанный со средним арифметическими. Если бы все элементы равнялись 8,5, тогда, конечно, среднее было бы 8,5. Но как в действительности 6 влияет на весь ряд? Что ж, это если бы у нас были все 8,5, и мы уменьшили всю сумму ряда на 2,5 (так как мы изменили одно 8,5 на 6). 

 

Если мы распределим эту разницу в 2,5 поровну между всем рядом из пяти чисел, то каждое число будет уменьшено на 2,5 / 5 = 0,5. Следовательно, это если бы у нас все числа с самого начала равнялись 8,5 и каждое из них уменьшилось на 0,5. Угадайте, что из этого?… Это означает, что конечное среднее арифметическое равно 8.5 – 0.5 = 8. Готово!

Другой способ быстро найти среднее арифметическое – это использовать одно число как «точку фокуса». Это хорошо работает, если числа довольно близки друг от друга, но, в то же время, и достаточно далеки, так что среднее арифметическое может не сразу стать очевидным.  Например, если в ряду (100, 95, 85, 110, 150) вы могли бы выбрать 100 в качестве фокуса и отметить, насколько другие числа меньше или больше 100:

100    95     85     110     150
(+0)  (-5)  (-15)  (+10)  (+50)

Сложите все результаты сравнения, чтобы получить чистую разницу: -5 + -15 + 10 + 50 = +40.  Опять же, это концептуальный эквивалент наличия тех же пяти чисел 100 и прибавления 40 ко всей сумме. Значит, если мы равномерно распределим 40 между членами ряда, каждый элемент увеличится на 40/5 = 8 относительно «фокусной точки» 100. И вуаля! Это значит, что среднее арифметическое равно 100+8 = 108. 

Чтобы закрепить полученные знания, попробуйте применить эти принципы к следующей официальной задаче GMAT:

Ada and Paul received their scores on three tests. On the first test, Ada’s score was 10 points higher than Paul’s score. On the second test, Ada’s score was 4 points higher than Paul’s score. If Paul’s average (arithmetic mean) score on the three tests was 3 points higher than Ada’s average score on the three tests, then Paul’s score on the third test was how many points higher than Ada’s score?
 

A) 9 B) 14 C) 17 D) 23 E) 25

 

 Источник: GMAT Club