Метод исключений: будьте осторожны с фразой «must be true»!

Если вас попросят объяснить общий смысл фразы “must be true”, вы, скорее всего, без колебаний ответите: «Эта фраза означает, что утверждение «должно быть истинным», то есть оно выполняется всегдаи без исключений». Если же вас попросят объяснить “could be true”, вы скажете: «Ну, в таком случае утвердение может быть истинным, но не обязательно таковым является».

If s, u, and v are positive integers and 2s = 2u + 2v, which of the following must be true?

I.     s = u
II.    u ` v
III.   s > v

(A)  None
(B)  I only
(C)  II only
(D)  III only
(E)  II and III

Для начала, сократим двойки в обеих частях уравнения:

(2s = 2u + 2v) / 2
s = u + v.

Теперь нам нужно узнать, какое утверждение «должно быть истинным», учитывая, что s = u + v.

Первый вариант исключить проще всего. Если бы он был верным, мы могли бы выбрать для s значение, например, 2, и получить s = u = 2. Но в условии говорится, что s = u + v. Выражение принимает форму 2 = 2 + v, что не имеет смысла, поскольку в условии также сказано, что v – положительное число, а значит, оно больше нуля.

Обратите внимание: мы нашли лишь один случай, в котором первое условие не выполняется – и этого нам вполне достаточно, ведь мы знаем, что “must be true” означает «выполняется всегда», следовательно, одного исключения достаточно, чтобы избавиться от условия.

Давайте посмотрим, работает ли та же логика для второго утверждения. Выберем значение u = 2 и v = 3 и подставим их в уравнение. Тогда sбудет равняться 5, и мы могли бы сказать «Так, все числа целые, положительные, уравнение верно, значит, второе условие должно быть истинным»

Стоп! Не так быстро. В первом условии мы методом случайного подбора нашли исключение из правила. Здесь мы точно таким же образом нашли подтверждение правилу. Но мы не можем с уверенностью сказать на основании одного примера, что правило u ` v соблюдается во всех случаях. Нашего примера достаточно лишь для того, чтобы доказать, что условие II может быть истинным. Давайте попробуем найти случай, в котором второе условие ложно.

Случай, когда u = v, возможен, ведь в условии не говорится, что значения s, u и v должны быть уникальными. Поэтому мы можем присвоить и u, и v значение 2, тогда s будет равняться 4, и уравнение будет верным. Мы нашли случай, в котором второе условие неверно, а значит, мы можем исключить все ответы с ним.

Еще раз акцентируем внимание: в вопросах с фразой “must be true” единственного исключения будет достаточно, чтобы показать ложность утверждения. Но единственного подтверждения будет недостаточно, ведь условие должно соблюдаться во ВСЕХ случаях.

Хорошей тактикой в таких задачах будет искать исключения, чтобы быстро избавляться от условий. Но если вы проверяете условие несколько раз подряд, и каждый раз оно оказывается истинным, справедливо предположить, что оно истинно всегда. В таких случаях внимательно проверьте, не упустили ли вы исключение и постарайтесь найти в задаче внутреннюю логику, доказывающую ваше суждение.

Так происходит в условии III.  Подберите несколько разных значений для уравнения, и вы обнаружите, что каждый раз s будет больше, чем v. С математической точки зрения, это происходит потому, что u + v > v, а поскольку u – положительное число, при s = u + v и u + v > v, утверждение s > v всегда истинно.

Источник: beatthegmat.com