Парабола

Для решения некоторых задач теста GMAT необходимо понимать, как ведет себя квадратичная функция, как выглядит ее график и какой смысл несут в себе коэффициенты квадратичного трехчлена. Именно эти моменты мы обсудим в этом уроке.

В общем виде квадратичная функция задается уравнением
f(x)=ax^2+bx+c (а отлично от нуля).
Как построить график такой функции?

Графиком квадратичной функции является парабола. Чтобы ее построить, нужно сделать следующие шаги:
•    Для того, чтобы определить направление ветвей параболы, необходимо оценить знак коэффициента перед x^2, то есть знак a. Если он положителен, то ветви направлены вверх, а если отрицателен, то вниз:

 

•    Теперь уточним положение параболы, определив точки пересечения с осями (y-intercept and x-intercept).
Свободный коэффициент с квадратичного трехчлена равен ординате точки пересечения с осью Oy, то есть y-intercept. Обратите внимание на свободный коэффициент у следующих функций и на точку пересечения их графиков с осью Oy:

 

•    Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно найти корни квадратного трехчлена. Например, рассмотрим две функции
f1(x)=x^2-9x+14 и f2(x)=x^2-3x-10. По теореме Виета найдем их корни: для первой x1=7, x2=2, а для второй x1=-2, x2=5 (проверьте!). Графики этих функций выглядят следующим образом (обратите внимание на точки пересечения парабол с осями):

 

•    Наконец, поговорим об особой точке параболы, которая называется вершиной. Особенность ее заключается в том, что это наименьшее значение функции, если ветви параболы направлены вверх, и наоборот, наибольшее значение, если ветви направлены вниз. Чтобы найти абсциссу (координату по оси Ox) вершины, нужно воспользоваться формулой
xв=-b/(2a).
Чтобы найти ординату вершины (координату по оси Oy), нужно подставить значение xв в функцию:
f(xв)=a xв2+b xв+c.
Найдите вершины у парабол, заданных следующими функциями, и постройте схематично их графики.
F(x)= - 2x^2+4x+2, f(x)=2x^2-8x+3
В результате должно получиться следующее:

 

Часто для решения той или иной задачи не нужно строить параболу точно, а достаточно лишь определить направление ветвей и корни, чтобы понять, при каких значениях аргумента x функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные.

Рассмотрим примеры задач.
Пример 1:
If x^2+12x+20<0, how many integer values can x be?
(A)        6
(B)        7
(C)        8
(D)        9
(E)      10

Решение:
Самый быстрый способ решить квадратное неравенство - это схематично построить соответствующую параболу. Итак, f(x)= x^2+12x+20. Поскольку нужно лишь понять, при каких значениях переменной x функция принимает положительные значения, а при каких отрицательные, нам достаточно определить направление ветвей и точки пересечения параболы с осью Ox. Так как коэффициент при x^2 равен 1, то есть положителен, ветви направлены вверх. По теореме Виета находим, что корни трехчлена равны x1= - 10, x2= - 2. Таким образом мы нашли точки пересечения с осью Ox и теперь готовы схематично построить график:

 

Теперь очевидно, что значения функции отрицательны, когда x принадлежит интервалу (-10; -2). Целых значений в этот интервал попало семь: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3. Ответ B.

Пример 2:
In the xy-plane, a parabola intersects with y-axis at point (0, y). Is y<0?

(1) The vertex of parabola is (2,-5).
(2) The parabola intersects with x-axis at points (-2, 0) and (6, 0).

(A)    Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) is not sufficient.
(B)    Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) is not sufficient.
(C)    BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
(D)    EACH statement ALONE is sufficient.
(E)    Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.
Решение:
Необходимо определить знак ординаты точки пересечения параболы с осью Oy.
Утверждение (1) дает нам координаты вершины параболы. Этой информации совершенно недостаточно, чтобы хоть что-то сказать о точках пересечения параболы с осями.
Из утверждения (2) мы узнаем точки пересечения параболы с осью Ox. Но и здесь возможны варианты:

 

Для первой параболы y0. Второго утверждения также недостаточно.
Если рассмотреть оба утверждения, то нам известны вершина параболы и точки пересечения с осью Ox, которые однозначно определяют параболу. Ответ С.

Пример 3:
Is A positive?

(1) x^2-2x+A is positive for all x.
(2) Ax^2+1 is positive for all x.

(A)    Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) is not sufficient.
(B)    Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) is not sufficient.
(C)    BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
(D)    EACH statement ALONE is sufficient.
(E)    Statements (1) and (2) TOGETHER are NOT sufficient.

Решение:
Утверждение (1) сообщает, что значение функции x^2-2x+A положительно для любого значения переменной. Что означает это утверждение для графика функции? Оно означает, что парабола целиком лежит в верхней полуплоскости системы координат и не пересекает ось Ox. Это возможно, если у квадратного трехчлена нет корней, а ветви при этом направлены вверх (что выполняется, так как старший коэффициент равен 1, то есть положителен). Чтобы обеспечить отсутствие корней, нужно гарантировать, что дискриминант трехчлена x^2-2x+A отрицателен.
D=b^2-4ac=4-4A<0, или 4<4A, 1
К аналогичному выводу можно прийти, если заметить, что парабола лежит в верхней полуплоскости, если ее вевти направлены вверх и ордината вершины положительна. Попробуйте проделать это самостоятельно.
В утверждении (2) дано, что Ax^2+1 положительно для любого х. Но это верно как для любого положительного A так и, например, для A=0. Так что второго утверждения не достаточно. Ответ А.

Olga Moskalenko, Gmat Math Consultant